Основными целями обучения учащихся в

школе предмету математики являются:

развитие формально-логического мышления

и общенаучной интуиции. И эти цели-стратегия

должны убедительно и регулярно

доводиться учителями до сознания

учащихся, иначе, в глазах учащихся, теряет

смысл обучения этому предмету.

Часть первая.

Существует легенда, что однажды молодой ученик, изучающий геометрию у Евклида, задал своему учителю вопрос: «Какова будет практическая польза от штудирования «Начал»?» Евклид не удостоил ученика ответом. Он призвал раба и сказал: «Дай ему обол (мелкая греческая монета), он ищет выгоды, а не знаний». Известно, что «Начала» Евклида были написаны в 325 году до новой эры. Таким образом прошло более 2300 лет с тех пор, но вопрос, поставленный тем учащимся, ищет своего ответа в умах нынешних учащихся. Ведь в наше время львиная доля сил и времени в школьном образовании уделяется математическому предмету. Чего только стоит (в прямом и переносном смысле) хорошая подготовка к ЕГЭ по математике? С другой стороны, знания по математике, без постоянной тренировки, быстро теряются. Известно, что Пушкину совершенно не давалась математика. В лицее учитель математики Карцев спросил Пушкина: «… Что же вышло? Чему равен икс?» Пушкин, улыбаясь ответил: «Нулю!» «Хорошо! – сказал учитель – У Вас, Пушкин, в моём классе, всё кончается нулём. Садитесь на своё место и пишите стихи». Вполне можно утверждать, что успешность той или иной личности в своей жизни не зависит от знаний по математике. Скорее следовало бы поискать обратную зависимость.

В советские времена Р.Рейган, президент США, на одной из встреч с М. Горбачёвым искренне благодарил нашего лидера за то, что его страна (США) на 50% удовлетворяет свой спрос на математиков из СССР. На то время происходила пятая технологическая революция, связанная в основном с компьютерными технологиями. В нашей стране возникли огромные экономические трудности, хаос во всех сферах общественной жизни, развал страны. В таких условиях мы не могли полнокровно участвовать в технологической революции у себя дома. Зато в известной кампании Майкрософт заявили, что успешность данной фирмы на 30% обеспечили выходцы из СССР. На то время одним из президентов США утверждалась даже программа по улучшению качества математического обучения в средней школе. В конце 90-х – начале 2000-х годов часто можно было слышать по радио рекламу по возможному переселению школьных учителей по математике из России в США. Видимо, существовала квота на такую категорию наших граждан. И это неслучайно, так как ещё в 60-тых годах прошлого века социологи США пришли к выводу: успешность развития космонавтики в СССР полностью разделяет её система образования. Диплом математика из СССР – один из немногих дипломов, который не требовал подтверждения в любой стране мира! Получается: только на государственном уровне заметна роль и значимость математики, так как она всё настойчивее и настойчивее включается во все сферы научной жизни, становясь важным фактором развития производительных сил. Надо отметить, что в нашей стране хорошо могут подготовить математика, но чтобы использовать его возможности для «практической пользы» – очень плохо получается. А ведь задачу подготовки хороших математиков надо считать самой сложной в данном деле! Здесь приведём несколько факторов: традиции в системе образования, источником которых были заложены ещё в царской России и успешно переняты в СССР [7]; хорошие учебные программы и учебники (гагаринские учебники); ментальность нашего народа, считающая хорошее образование чрезвычайно важным комплексным качеством личности. В Древней Греции те, кто занимался наукой, считали по наитию это занятие подобием искусства, достаточным самим по себе, жёстко при этом пресекая меркантильный характер. В нашей стране деятельность основной группы профессиональных математиков сводится к развитию самой математики (почти как в Древней Греции), наделяя такое отношение эпитетом «развитием фундаментальной науки». Например, в Германии все математики, которые хоть и имеют публикации в ведущих периодических журналах мира, но также задействованы и в решении практических задач.

Зададимся вопросом: какую же пользу получает учащийся от изучения математики? Для начала мы должны определить предмет изучения математики. Первое приемлемое определение предмета математики дал Ф. Энгельс в «Диалектике природы», как науки, изучающей количественные отношения и пространственные формы действительного мира[1]. Следует отметить, что «действительным миром» ещё интересуется только философия! Здесь следует обратить внимание на то, что философом Энгельсом прямо указывается на самый всеобъемлющий объект изучения математической науки – это действительный мир = действительность = объективная реальность = реальность = Вселенная = природа[2]. Одним из самых авторитетных математиков в 20 веке в нашей стране, А.Н.Колмогоровым, так же подтверждалось: «Принципиальная область применения математического метода неограниченна: все виды движения могут изучаться математически» [1, с. 255]. В философии под понятием «виды (формы) движения» подразумеваются физические, химические, биологические, и даже социальные явления. «В самом общем виде движение – это изменение вообще, всякое взаимодействие материальных объектов и смена их состояний. (С нашей точки зрения бытующее в философии понятие «движение» перегружено посторонним смыслом» [9]). В этом «мире» математику, в первую очередь, интересуют количественные отношения. Но в «мире» понятия «количество» и «качество» взаимосвязанны: любые качественные изменения инициируются количественными. Существует понятие «мера» соответствия количественных и качественных изменений. Все известные науки (в том числе и математика, которая «формализует» качества предметов) – это изучение «качеств» объектов. Отсюда можно сделать вывод: любая наука обязана привлекать математику либо математические методы в русле общенаучных подходов, в деле соответствия количественных и качественных изменений! Представителю немецкой классической философии, Иммануилу Канту, принадлежит фраза: «В каждой естественной науке заключено столько истины, сколько в ней математики». В несколько иной интерпретации мы находим в [1 с. 256] слова И.Канта: «В любом частном учении о природе можно найти науки в собственном смысле лишь столько, сколько имеется в ней математики». Ему вторит Р.Декарт в его «Правилах для руководства ума», опубликованных после его смерти: «К области математики относится всякая наука, в которой рассматривается либо порядок, либо мера, и не имеет никакого значения, будут ли это числа, фигуры, звёзды, звуки или что-нибудь другое, в чём отыскивается эта мера» [8, с. 70]. Следует обратить ещё особое внимание на понятие «отношение». Математиком А.Д.Александровым дано современное определение предмета математики: «В общем в предмет математики могут входить любые отношения действительности, которые объективно обладают такой степенью зависимости от содержания, что могут быть от него полностью отвлечены [2]». У А.Пуанкаре «математика – это искусство давать одно и то же название различным вещам» [4, с. 300]. Конкретизируем «любые отношения действительности»: под «отношениями» мы обычно рассматриваем как химические, физические, биологические и другие изменения объектов. А.Д.Урсулом [1, с. 259] утверждается, что «математические структуры выражают … устойчивые отношения … математические структуры на более высоком уровне абстракции глубже отображают сущность количественных отношений действительности». Далее Урсулом делаются пояснения для современного состояния дел в математике: « … математика изучает – главным образом в формальном аспекте – ряд общих характеристик действительности, к числу которых мы относим количество, пространство, структуру и отражение» [1, с. 280]. Здесь же автором подмечается ценный вывод: «… в математике стало ясным, что наиболее важные результаты в ней были получены на пути исследования не объектов, а связей между ними (морфизмов)»[1, с. 262]. (!) По сути, часто используемые понятия: «связь», «отношения», «движения», «изменения», «морфизмы» в математике, «информация» – это либо виды «отражения», либо его результат![9].

Но самым удивительным свойством математики считается возможность для нас проникать в сущность вещей и явлений там, где наши органы чувств не способны «созерцать»! О явлениях микромира мы можем судить опосредованно. И тем не менее, развитие естественных наук и технологий, связанных с микромиром, можно с полным правом считать истинно правильным, например, в нанотехнологии. Так вот, роль и значимость математики и в этом деле неоспоримо велика. Проследим за тем, как математика способствовала освоению нашего мира с помощью одного из своих разделов, геометрии.

Первым, видимо, пришёл к идеям неевклидовой геометрии Гаусс ещё в 90-х годах 18 века. Но он боялся острой реакции математического сообщества. В одном из писем к австрийскому астроному Герлингу, который, в свою очередь, открыто высказывал неопубликованные идеи Гаусса, доносились предостережения: «Но осы, гнездо которых Вы потревожите, полетят Вам на голову». Наиболее последовательно и удачно проводил идеи неевклидовой геометрии Н. Лобачевский. (К таким же результатам, но несколько позже пришёл венгерский математик Я. Бойяи). В сочинении «О начале геометрии», опубликованном в 1826 году, Лобачевский положил начало новым представлениям не только в геометрии. Им был правильно сделан материалистический философский вывод: у него все геометрические системы зависят от физической структуры материи, объективной реальности. Совершенно по-другому решает проблему отношения геометрии и природы (материи) великий математик и заблуждающийся философ А.Пуанкаре: «… не природа навязывает их нам, а мы налагаем их на природу, потому что мы находим их удобными…»[4, с. 157]. Такая позиция Пуанкаре нашла отражение в его теории конвенционализма (от лат. сonvencio – соглашение). Суть её состоит в том, что группа учённых приходит к соглашению по поводу какой-либо теории, где выбор соглашений диктуется соображениями удобства, «экономии мышления» по Маху – это явно субъективно идеалистическая направленность в философии, приводящая к агностицизму, непознаваемости явления. За такую философскую позицию В.И.Ленин справедливо критиковал А.Пуанкаре. Как бы подтверждая позицию Лобачевского, Ленин поясняет истоки научных теорий: «Практическая деятельность человека миллиарды раз должна была приводить сознание человека к повторению разных логических фигур, дабы эти фигуры могли получить значение аксиом» [5, с. 181- 182]. Сделаем пояснения. Известны особенности нашего мозга, который способен лишь частично отражать реальный мир. В статье [2] подробно излагается, как из «слабой энергии» получается информация в нашей голове. Так вот, наше абстрактное мышление осуществляется посредством информации по формально-логическим законам, оперируя понятиями, суждениями, теориями и т. д. В «Философских тетрадях» Ленин утверждает, что «самые обычные логические «фигуры» – … самые обычные отношения вещей» [6, с. 159]. Вывод: все наши аксиомы, суждения, теории и т. д. – производные, результат отражения реального мира в нашем мозге. Далее Ленин показывает, как эти «логические фигуры», по-другому – логическая теория умозаключений, возникают и закрепляются в человеческом сознании: «Практика человека миллиарды раз повторяясь, закрепляется в сознании человека фигурами логики. Фигуры эти имеют прочность предрассудка, аксиоматический характер именно (и только) в силу этого миллиардного повторения» [6, с. 198]. Всё, о чём говорилось по поводу «умозаключений», хорошо поясняется через физиологическую теорию доминант А.А.Ухтомского [3], тем самым подтверждая объективность философских позиций Лобачевского и Ленина.

Проследим вкратце, как создавалась неевклидова геометрия и к каким выводам она подводила своих исследователей. Сомнению подверглась третья аксиома, известная под названием «постулат Евклида»: через точку вне данной прямой на плоскости можно провести единственную прямую параллельную данной прямой (постулат-аксиома приведена в современном толковании). В книге А.Пуанкаре «О науке» [4, с. 32] эта аксиома трактуется следующим образом: «3. Через данную точку можно провести лишь одну прямую, параллельную данной». Если теперь взять логическое отрицание этого утверждения, то мы получим следующие две альтернативы: 1. Через … точку можно будет провести бесчисленное множество прямых … – получим геометрию Лобачевского; 2. Через … точку нельзя будет провести ни одной прямой … – получим геометрию Римана. Обратимся к Википедии: «Как и евклидова, эти геометрии относятся к метрическим геометриям пространства постоянной кривизны. Нулевая кривизна соответствует евклидовой геометрии, положительная – сферической или геометрии Римана, отрицательная – геометрии Лобачевского». Построенные новые геометрические системы непротиворечивы. «… геометрии двух измерений, как Римана, так и Лобачевского, оказываются связанными с евклидовой геометрией» [4, с. 35]. Но выводы, полученные из этих систем, разительно отличаются. Например, «сумма углов треугольника: равна двум прямым в геометрии Евклида; меньше двух прямых в геометрии Лобачевского; больше двух прямых в геометрии Римана» [4, с. 34]. Уже такой вывод предполагает наличие неоднородности пространства, кривизны. Очень необычными и полезными являются преобразования Лоренца с евклидова пространства в псевдоевклидово пространство, благодаря чему мы получаем более точное представление о реальном пространстве и времени. «Преобразования Лоренца в физике, в частности, в специальной теории относительности, называются преобразования, которым подвергаются пространственно-временные координаты (x, y, z, t) каждого события при переходе от одной инерциальной системы отсчёта к другой» – ресурс Википедии. Уже здесь время проявляет себя как равноправный атрибут пространства, становясь его четвёртым измерением. Согласно уже теории относительности мы можем получить, например, два следствия: релятивистский эффект замедления времени и релятивистское сокращение размеров движущегося тела. Данные выводы разительно отличаются от укоренившихся классических, которые утверждались ещё в теориях Галилея и Ньютона, то есть устранялось понимание абсолютности пространства и времени. Но мы не отрицаем значимости и классического представления, правда, ограничивая рамки их применимости. Принято считать, что если по отношению друг к другу две системы движутся со скоростью меньше 30 км в секунду, то применима механика Ньютона, если же – больше 30 км в секунду, то применимы принципы релятивизма. Дело в том, что эффекты замедления времени и сокращения размеров движущихся тел заметны при больших скоростях. В преобразованиях Лоренца имеется релятивистский множитель:  , где с – скорость света, v – скорость движущегося тела по отношению к условно неподвижной системе отсчёта. Здесь «с» постоянна и для неподвижной системы, и для движущегося тела. Для движущегося тела уже неприемлем принцип сложения скоростей, то есть c + v или c – v – в зависимости от того, сонаправлены либо наоборот скорость света (в данном случае луч света выпускается с поверхности тела) и самого тела. В движущейся системе течение времени подчиняется следующему закону: t =  . (1)

Здесь – течение времени в условно неподвижной системе.

Множитель  почти всегда больше 1, так как здесь «1» делится на выражение меньшее единицы, поэтому по формуле (1) мы и получаем замедление времени для t в движущемся теле. Аналогично мы получаем релятивистское сокращение размеров движущегося тела: l = . Здесь множитель  почти всегда меньше 1. Ключевые выводы специальной теории относительности были впервые получены А.Пуанкаре. Им был разработан инвариантный подход не только для разных разделов математики, но и для физики. Впервые разработкой теорией инвариантов занялся Ф.Клейн. После его работ всякая геометрия стала пониматься как теория инвариантов некоторой группы преобразований. Для математики инвариант – это свойство некоторого класса (множества) математических объектов, остающееся неизменным при преобразованиях определённого типа. (Ресурс Википедии). Если физиком Лоренцом была выдвинута гипотеза, которая устраняла проблемы законов электродинамики Д. Максвелла, то математиком А.Пуанкаре была строго математически обоснованна посредством инвариантных преобразований и тем самым реально поддержанна данная идея. Хотя А.Пуанкаре подробно разъяснял все аспекты специальной теории относительности, сам Лоренц до конца своей жизни так и не осознавал всей глубины и значимости её.

Этот пример показывает, как математика помогает решать те задачи, которые встают перед другими науками. В свою очередь, сама математика обогащается новыми методами, подходами, которые с успехом применяются в других областях знаний. И это только подтверждает её общенаучный характер!

Часть вторая.

В этой части мы покажем: какую же «выгоду» должен получить учащийся от изучения математики, и как нынешние «учителя-евклиды» обязаны доносить её своим ученикам. Сразу оговоримся, что математика, как наука, не противопоставляется и обособляется по отношению к другим наукам. Она обязана находиться в своеобразном симбиозе с другими науками – это её естественное состояние. Любая наука – это изучение качества объекта в широком смысле. В первой части уже было отмечено, что между философскими понятиями-категориями «качеством» и «количеством» существует неразрывная связь. Так вот, математика и «предлагает» свой аппарат для изучения одной из сторон этой неразрывной связи. А вот меру соответствия должны устанавливать уже другие науки!Развитие математики за последние 500 лет (за отсчёт можно условно принять время, когда жил и работал Н.Коперник) показывает, что практика некоторых естественных наук ставила конкретные задачи. Решая эти задачи, математика совершенствовала и свой аппарат. Этот же аппарат с большим успехом использовался и используется в других отраслях знаний и другой практике.

В книге А.Пуанкаре «Учёный и наука» в главе «Математическое творчество» автор удачно психологически разделяет математическую деятельность индивида на две составляющие: формально-логическую (у А.Пуанкаре это – «силлогизмы, расположенные в известном порядке, причём этот порядок расположения элементов оказывается гораздо более важным, чем сами элементы» [4, с. 311]) и «математическую интуицию, благодаря которой мы отгадываем скрытые гармонии и соотношения…» [4, с. 311]. В этих суждениях автора в неявной форме показаны объект и предмет изучения математики, здесь можно разглядеть и цели изучения индивидом математики, которые мы отметили в эпиграфе данной статьи. Если формально-логическое мышление (силлогизмы) увязывается с сознательной деятельностью индивида, то «математическая интуиция» – с подсознанием. В творческой деятельности индивида А.Пуанкаре главную роль отводит интуиции. Если подытожить отношения между интуицией и логикой в творческом плане, то здесь, в упрощённом виде, интуиция должна выдвигать гипотезу, а логика – доказывать то, что выдвигает интуиция.Отмечая трудности освоения математики учащимися, А.Пуанкаре предлагает учителям помимо логической составляющей, «культивировать» и интуитивную: «Доказывают при помощи логики, изобретают при помощи интуиции» [4, с. 360].

В «Стратегии рационального обучения в педагогике» [10] были затронуты основные вопросы дидактики: «как» и «чему» учить? В статье выявлены две основные проблемы дидактики: 1. Несоответствие стадии развития индивида с формами обучения на фоне огромного возрастающего потока формализованной значимой для индивида информации; 2. Осуществление гармоничного перехода от игровой к учебной форме обучения. Данные выводы были сделаны на основе физиологической теории и теории доминант Ухтомского – в этом и заключается их ценность. Следует обратить особое внимание «огромному потоку формализованной значимой для индивида информации» для понимания сущности проблем современной педагогики. На самом деле, весь накапливающийся человечеством полезный багаж информации стараются освоить, поэтому ширятся по объёму школьные программы. В результате учащиеся испытывают большие учебные перегрузки. Вся наша система образования негласно руководствуется принципами А.В.Занкова. Здесь главное: высокий уровень сложности теоретических знаний, быстрый темп освоения программного материала [10]. На фоне такого состояния в педагогике трудно быть убедительным для учащегося в деле глубокого освоения математики. Тем не менее, проделывать такую работу надо со стороны учителей. Каждый учитель математики должен для себя осознать роль и значимость математики, а потом уже доносить это убеждение до учащегося! Указанную работу надо проделывать самостоятельно и на методических объединениях учителей математики. Главными психологическими составляющими математического образования должны стать развитие формально-логического мышления и общенаучной интуиции. И эти личностные качества универсальны. Формально-логическое мышление позволяет конструктивно рассуждать, делать правильные выводы в разных жизненных ситуациях. Общенаучная интуиция позволяет задаваться необычными вопросами, догадками, гипотезами. Все эти качества ценятся и развиваются и в других науках, но последовательно они получают развитие только в математике! Сам процесс математической деятельности пропитан постановками задач, примерами, рассуждениями, выводами – всё это предполагает от индивида творческого подхода. Удачно решённая трудная задача либо пример, уже вызывает у каждого массу положительных эмоций, понимания и постижения чего-то. Приобщение учащегося к математике должно быть своевременным, регулярным,осознанным и компетентным со стороны учителей. Осознанию процесса обучения математике в школе почти ничего не делается. Правда, в школе иногда говорят от случая к случаю о межпредметной связи, но это проделывается очень редко и поверхностно. Только осознанная значимость и роль математики позволит учащемуся правильно сделать акценты в обучении, сделать правильный жизненный выбор. Не следует пренебрегать и пропагандой в школе. Например, основная тенденция, тренд, в современном спросе на специалистов – это спрос на технологических специалистов, а проще – на инженеров. Там, где инженер, там много требуется математики. Часто можно услышать сетования от Президента или министерских кругов об избыточности кадров юристов и экономистов в нашей стране и недобора инженеров. В результате такой работы по «осознанию» можно будет склонить многих колеблющихся ребят к правильному отношению к предмету математики. Бытует поговорка: «Из математика можно сделать экономиста, а из экономиста нельзя сделать математика».

Сейчас самая большая страшилка в школе – это ЕГЭ по математике. Здесь почти пресекается списывание. Надо подвести любого учащегося к осознанному освоению данного предмета, тогда улучшится обстановка, связанная с проблемами сдачи экзамена. Известный популяризатор математики Д.Пойа как-то высказался: «Умение решать задачи – практическое искусство, подобное плаванию, или катанию на лыжах, или игре на фортепиано: научиться этому можно, лишь подражая избранным образцам и постоянно тренируясь…». В «Стратегии рационального обучения..» [10] мы уже постарались ответить на вопрос «как учить?». Теперь мы неожиданно подошли к частичному пониманию другого дидактического вопроса «чему учить?». Здесь предмет математики получает особое значение в ряду других. Её роль, как науки, – обслуживать другие науки, развивая и свои методы. В школе она способствует развитию у ребят формально-логического мышления и общенаучной интуиции, при этом предлагая смотреть на мир через «очки» математика. Зададимся риторическим вопросом: «А не является ли такое понимание развития личности ключевым в педагогике, где учащийся получаетнаправленное развитие интуиции и логики, а другие виды развития могут быть получены на основе ключевых?!». Всё, что здесь обозначено, позволит индивиду в итоге лучше ориентироваться и приспосабливаться в окружающем мире.

Выводы.

Исследуя предмет математики, мы обнаружили, что она изучает всё в мире, но только с количественной (в широком смысле) стороны. С философской точки зрения существует неразрывная связь между понятиями «количество» и «качество», которые воплощены в каждом предмете. Между этими понятиями существует ещё одно связующее понятие – «мера» соответствия. Любая наука так или иначе обречена обращаться к математике в той или иной форме, устанавливая «меру соответствия» между «качеством» и «количеством» объекта исследования. Уже только из-за этих посылов следует серьёзно изучать математику.

Изучая математику, индивид последовательно и целенаправленно развивает ценные личностные качества: формально-логическое мышление и общенаучную интуицию – они универсальны, как методы познания. Но в школе об этом почти ничего не говорится. В школе усвоение математики происходит неосознанно! Из-за этого, в большинстве случаев, теряет смысл обучения данному предмету, способствует нерегулярности освоения. Такое отношение быстро приводят учащихся к полному непониманию и неприятию данного предмета изучения. Конечно, процесс «осознания» не решит всех проблем преподавания математики в школе, но можно быть уверенным в том, что качество обучаемости при этом заметно улучшится, так как множество способных ребят пожелают освоить эти «универсальные» личностные качества, способствующие их всестороннему интеллектуальному развитию, – вот та «польза», получаемая учащимися от освоения математики.

1. Урсул А.Д.  Философия и интегративно-общенаучные процессы. – М.: Наука, 1981. – 367 с.
2. Филиппов Л.И. О необходимости принципиальных соглашений между философами // Гуманитарные научные исследования. 2014. № 5 [Электронный ресурс]. URL: http://human.snauka.ru/2014/05/6520.
3. Филиппов Л.И. Физиологический аспект гносеологии и психологии. ( Часть 1) // Гуманитарные научные исследования. 2014. № 3 [Электронный ресурс]. URL: http://human.snauka.ru/2014/03/6177.
4. Пуанкаре А.  О науке. – М.: Наука, 1983. – 560 с.
5. Ленин В.И.  Полн. собр. соч., 5 изд., т. 38.
6. Ленин В.И.  Полн. собр. соч., 5 изд., т. 29.
7. Каспаржак А.Г. , Левит М.В.  Базисный учебный план и российское образование в эпоху перемен. – М.: МИРОС, 1994. – 144 с.
8. Шингарев Г.М.  Мальчик на берегу океана. – М.: Дет. лит., 1981. – 159 с.
9. Филиппов Л.И. Исследование философских категорий методами формальной логики. Основы метафилософии. Новые требования к критерию объективной истины. Информация и «слабая энергия» // Гуманитарные научные исследования. 2013. № 5 [Электронный ресурс]. URL: http://human.snauka.ru/2013/05/3165.
10. Филиппов Л.И. Стратегия рационального обучения в педагогике // Гуманитарные научные исследования. 2014. № 12 [Электронный ресурс]. URL: http://human.snauka.ru/2014/12/8765.

Все статьи автора «Филиппов Леонид Иванович»