Формирование индивидуального теста возможно по разным темам различных математических дисциплин [10, 11]. В тех случаях, когда материал темы представлен сложной графовой моделью, необходимо разбить данный граф на подграфы, для вершин которого полустепень захода не превышает 1. Такое разбиение объясняется логикой изучения данного материала [12, 13]. Выделение завершенных и самостоятельных частей позволяет выяснить причины возникновения ошибок у учащихся при выполнении тестовых заданий с целью дальнейшей коррекции полученных ими знаний. Затем для каждого из подграфов применяется процесс формирования критериально-ориентированного индивидуального теста [14].

При формализации области изучаемой дисциплины встречаются как графовые модели подобные модели, приведенной на рисунке 1 (дерево, полустепень захода вершин не более 1), так и графы с более сложной структурой (полустепень захода вершин более 1). Приведем такие примеры.

Рисунок 1 – Графовая модель G изучаемого материала

На рисунке 2 приведен пример графовой модели материала темы «Квадратные уравнения», полустепень захода вершин не более 1.

Рисунок 2 – Графовая модель теоретического материала по теме «Квадратные уравнения»

В данной модели вершинам графа соответствуют следующие элементы знания:

1 – определение квадратного уравнения;

2 – уравнение вида x² = d;

3 – d > 0 – два действительных корня;

4 – d = 0 – корень 0;

5 – d < 0 – нет действительных корней;

6 – неполные квадратные уравнения;

7 – уравнение вида ax² + c = 0;

8 – уравнение вида ax² + bx = 0, b ≠ 0;

9 – c < 0 – два действительных корня;

10 – c = 0 – корень 0;

11 – метод выделения полного квадрата;

12 – b² – 4ac < 0 – действительных корней нет;

13 – b² – 4ac = 0 – один действительный корень;

14 – формула корней квадратного уравнения;

15 – b² – 4ac > 0 – два действительных корня;

16 – формула корней квадратного уравнения;

17 – формула корней приведенного квадратного уравнения;

18 – теоремы Виета (прямая и обратная);

19 – формула корней уравнения ax² + 2mx + c = 0;

20 – определение квадратного трехчлена;

21 – формула разложения на множители.

На рисунке 3 приведен пример графовой модели материала темы «Квадратичные функции», полустепень захода вершин более 1.

Рисунок 3 – Модель теоретического материала по теме «Квадратичные функции»

В приведенной модели вершинам графа соответствуют следующие элементы знания:

1 – определение квадратичной функции;

2 – нули квадратичной функции;

3 – функция у = x²;

4 – свойства;

5 – интервалы знакопостоянства;

6 – четность, симметричность графика;

7 – монотонность;

8 – экстремум;

9 – функция у = ax²;

10 – функция y = ax² + bх + c;

11 – график функции;

12 – вид и расположение графика в зависимости от коэффициентов;

13 – выделение полного квадрата;

14 – формулы координат вершины;

15 – способы построения (по направлению ветвей и характерным точкам, с помощью преобразований графика у = x²);

При повторении изученного материала данный граф можно разбить на подграфы, для вершин которого полустепень захода не превышает 1 (см. рис. 4-7). При этом полученные подграфы соответствуют логике разбиения материала и представляют собой инварианты изучаемой темы [15, 16].

На рисунке 4 знания, ассоциированные с вершинами графа, соответствуют введению понятия «квадратичная функция», рассмотрению простейшего примера – функции у = x² и некоторых ее свойств.

Рисунок 4 – Подграфы по теме «Квадратичные функции»

На рисунке 5 знания, ассоциированные с вершинами графа, соответствуют рассмотрению функции у = ax² и таких свойств этой функции как интервалы знакопостоянства, четность, симметричность графика, монотонность и экстремум. На рисунке 6 – изучению функции y = ax² + bх + c и ее свойств, а также способов построения графика данной функции на основании выделения полного квадрата. На рисунке 7 – рассмотрению построения графика функции y = ax² + bx + c на основании изучения ее свойств.

Рисунок 5 – Подграфы по теме «Квадратичные функции»

Рисунок 6 – Подграфы по теме «Квадратичные функции»

Рисунок 7 – Подграфы по теме «Квадратичные функции»

После выполнения первого индивидуального теста для ученика, не справившегося с его заданиями, выделяется новое множество вершин M, и повторяется описанный процесс. Для возможности повторения учебного материала и на индивидуальную помощь каждому ученику необходимо отводить время, соответствующие его личным способностям.

Первый индивидуальный тест может выполняться в рамках времени отведенного на уроке для коррекции знаний, например, работа над ошибками, последующие – в виде самостоятельной работы вне занятий в школе или дома. Если ученик справился с индивидуальным тестом полностью, т.е. устранил свои пробелы в усвоении данного материала, то построение индивидуальной траектории обучения осуществляется в зависимости от его личностного запроса [17, 18].

Таким образом, каждый ученик в зависимости от своих потребностей и возможностей с помощью системы индивидуальных тестовых заданий имеет возможность осуществить свой образовательный запрос [19]. Одновременно с этим, если он достиг в обучении минимально необходимого уровня усвоения учебного материала, то он переходит к изучению следующей темы. Образовательный процесс в этом случае состоит из параллельных действий по времени: изучение нового материала и коррекция предыдущих знаний, с отработкой умений и формированием навыков. Следовательно, обеспечивается, как требует того стандарт обучения, получение учащимися знаний соответствующих минимальному объему содержания образования и обучение идет по оптимальной индивидуальной траектории [20]. В этом случае рационально и эффективно организовать процесс личностно ориентированного обучения возможно с использованием инновационных автоматизированных дидактических систем [21].