УДК 37

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА СЦЕНАРИЯ НАУЧНО-ПРАКТИЧЕСКОЙ КОНФЕРЕНЦИИ ШКОЛЬНИКОВ ПО ТЕМЕ «ВОЗВРАТНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ»

Журкина Мария Ивановна
Саратовский государственный университет
студент 4 курса механико-математического факультета

Аннотация
Данная статья будет полезна учителям при организации учебно-исследовательской деятельности учащихся 9 класса при изучении темы «Возвратные последовательности». В статье представлена разработка сценария научно-практической конференции школьников по теме «Возвратные последовательности».

Ключевые слова: , ,


Рубрика: Педагогика

Библиографическая ссылка на статью:
Журкина М.И. Методическая разработка сценария научно-практической конференции школьников по теме «Возвратные последовательности» // Гуманитарные научные исследования. 2019. № 5 [Электронный ресурс]. URL: http://human.snauka.ru/2019/05/25817 (дата обращения: 17.05.2019).

Научно-практическая конференция школьников «Возвратные последовательности» посвящена 352-летию со дня рождения одного из основателей теории возвратных последовательностей французского математика Муавра.
Разработанная научно-практическая конференция имеет теоретическую и практическую направленность и затрагивает проблемы, связанные с возвратными последовательностями: арифметические и геометрические прогрессии, последовательность Фибоначчи, последовательность квадратов натуральных чисел, периодические последовательности, последовательности коэффициентов частного многочленов, расположенных по возрастающим степеням, и т.п.
Научно-практическая конференция школьников «Возвратные последовательности» разработана для обучающихся в возрасте 15 лет (9 класс). Данная научно-практическая конференция рассчитана на 1,5 часа (2 урока).
Целью научно-практической конференции «Возвратные последовательности» является обобщение и систематизация знаний обучающихся о возвратных последовательностях.
Задачи научно-практической конференции:
1. Образовательные: углубить и расширить теоретические и практические знания обучающихся о возвратных последовательностях; создать условия для развития внутренней мотивации обучающихся к исследовательской деятельности.
2. Развивающие: развивать у обучающихся познавательный интерес к математике и ее приложениям; развивать творческие способности, математическую речь, аналитическое и критическое мышление, устойчивое внимание обучающихся.
3. Воспитательные: воспитывать коммуникативную культуру и культуру письменной речи, активность обучающихся; приобщить обучающихся к традициям российской научной школы.
Данная научно-практическая конференция позволит обучающимся не только систематизировать имеющиеся теоретические и практические знания о возвратных последовательностях, но и будет способствовать расширению и углублению знаний обучающихся о возвратных последовательностях.
Ведущий (учитель) приветствует участников научно-практической конференции со следующими словами: «Добрый День! Рады приветствовать участников и гостей научно-практической конференции «Возвратные последовательности».
Каждый из участников уже имеет опыт участия в научно-практических конференциях, поэтому всех нас, сегодня здесь собравшихся, объединяет любовь к удивительному и увлекательному миру – миру математических знаний.
Математика необходима в каждой профессии, она играет важную роль в повседневной жизни каждого человека. Известный английский философ 13 века Роджер Бэкон, определяя роль математики, заметил, что тот кто не знает математики, не может узнать никакой другой науки и даже не может обнаружить своего невежества».
Затем ведущий представляет экспертную комиссию, которая должна будет оценивать работы участников. 
В основной части учитель осуществляет введение нового образовательного материала: «Тема «Возвратные последовательности» близка к школьному курсу (арифметические и геометрические прогрессии, последовательность квадратов натуральных чисел, последовательности коэффициентов частного многочленов, расположенных по возрастающим степеням, и т.п.). Вместе с тем это настоящая законченная, простая и понятная математическая теория, созданная крупнейшими мастерами математического анализа [1].
Основы теории возвратных последовательностей были разработаны и опубликованы в двадцатых годах восемнадцатого века французским математиком Муавром и одним из первых по времени членов Петербургской Академии наук швейцарским математиком Даниилом Бернулли. Развернутую теорию представил крупнейший математик восемнадцатого века петербургский академик Леонард Эйлер, посвятивший возвратным последовательностям тринадцатую главу своего труда «Введение в анализ бесконечно-малых». Из более поздних работ следует выделить изложение теории возвратных последовательностей в трудах знаменитых русских математиков академиков П. Л. Чебышева и А. А. Маркова [1].
Так как в этом году исполняется 352 года со дня рождения одного из основателей теории возвратных последовательностей французского математика Муавра, то научно-практическая конференция школьников «Возвратные последовательности» посвящена этому важному событию.

Рисунок 1 – Абрахам де Муавр

Абрахам де Муавр (26.05.1667, Витри-ле-Франсуа, Франция – 27.11.1754, Лондон) – известный французский математик, член Лондонского королевского общества (1697), Берлинской Академии наук (1735) и Парижской Академии наук (1754). Родился в недворянской семье врача-гугенота. Частицу «де» перед своей фамилией добавил по собственной инициативе. Учился в Протестантской академии в Седане (1678–1682), затем в Сомюре (1682–1684), слушал лекции по физике и математике в Париже. В 1707 году Муавр нашел правило возведения встепень для комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме, впоследствии получившее название – формулы Муавра). Исследовал степенные ряды, названные им возвратными; провел вероятностное исследование азартных игр и ряда статистических данных по народонаселению. И как уже говорилось ранее исследовал последовательности, названные им рекуррентными (возвратными) [2].
Начинаем работу нашей конференции. Напомним всем участникам – регламент выступлений: на защиту доклада отводится 7 минут, после чего участники отвечают на вопросы». 
Представлена программа научно-практической конференции «Возвратные последовательности»:
1. Арифметическая прогрессия и ее свойства.
2. Геометрическая прогрессия и ее свойства.
3. Последовательность чисел Фибоначчи. Простейшие свойства чисел Фибоначчи.
4. Последовательность коэффициентов частного многочленов, расположенных по возрастающим степеням.
5. Формула Бине и ее связь с числами Фибоначчи.
6. Золотое сечение в природе, живописи и архитектуре.
7. Прогрессии в банковском деле.
8. Разнообразные виды последовательностей.
9. Теоретико-числовые свойства чисел Фибоначчи.
10. Треугольник Паскаля и его связь с арифметическими прогрессиями.
Представлен доклад одного из участников научно-практической конференции по теме «Последовательность чисел Фибоначчи. Простейшие свойства чисел Фибоначчи».
Теория чисел Фибоначчи является маленькой математической теорией, имеющей свою историю, свою проблематику и свои методы. Выросшие из знаменитой «задачи о кроликах», числа Фибоначчи до сих пор остаются одной из самых увлекательных глав элементарной математики.
Древняя история имеет большое количество выдающихся математиков. Многие достижения древней математической науки до сих пор служат образцом, а имена Евклида, Архимеда, Герона известны каждому образованному человеку. Иначе обстоит дело с математикой средневековья. Кроме Виета, жившего уже в шестнадцатом столетии, и математиков более близких нам времен школьный курс математики не называет ни одного имени, относящегося к средним векам. Математика в эту эпоху развивалась очень медленно, и крупных математиков в это время было очень мало. Именно поэтому больший интерес представляет для современников сочинение «Liber abacci» («Книга об абаке»), написанная знаменитым итальянским математиком Леонардо из Пизы, который известен больше по своему прозвищу Фибоначчи (Fibonacci – сокращенное filius Bonacci, то есть сын Боначчи). Эта книга написанная в 1202 году, сохранилась во втором своем варианте, который относится к 1228 году. «Liber abacci» представляет собой объемистый труд, содержащий практически все арифметические и алгебраические сведения того времени и сыгравший заметную роль в развитии математики в Западной Европе в течение нескольких следующих столетий. В частности, именно благодаря этой книге европейцы познакомились с индусскими («арабскими») цифрами. Сообщаемый в «Liber abacci» материал поясняется на большом числе задач, составляющих значительную часть этого трактата.
Рассмотрим «задачу о кроликах», помещенную в данной рукописи:
«Некто поместил пару кроликов в некоем месте, огороженном со всех сторон стеной, чтобы узнать, сколько пар кроликов родится при этом в течение года. Природа кроликов такова, что через месяц пара кроликов производит на свет другую пару, а рождаются кролики со второго месяца. Сколько пар кроликов будет через год?»
Данная задача имеет следующее решение: В первый месяц кроликов окажется уже две пары: одна первоначальная пара, давшая приплод, и одна родившаяся пара. Во втором месяце кроликов будет три пары: одна первоначальная, снова давшая приплод, одна растущая и одна родившаяся. В третьем месяце – пять пар: две пары, давшие приплод, одна растущие пары, три родившиеся пары. Продолжая рассмотрение по месяцам, можно установить связь между количествами кроликов в текущий месяц и в два предыдущих. Если обозначить количество пар череза через– порядковый номер месяца, тоС помощью данного рекуррентного уравнения рассчитывают количество кроликов по месяцам года:
Ответ: 377 пар.
Определим основные понятия данной математической теории: 
Определение 1. Последовательности, в которых каждый член определяется как некоторая функция предыдущих, часто встречаются в математике и называются рекуррентными или, возвратными последовательностями.
Определение 2. Процесс последовательного определения элементов рекуррентных последовательностей называется рекуррентным процессом.
Определение 3. Последовательностьв которой каждый член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих членов, приназывается рядом Фибоначчи, а члены ее – числами Фибоначчи, а равенствосправедливое при всякомназывается возвратным (рекуррентным) уравнением.

Простейшие свойства чисел Фибоначчи:

Теорема 1. Сумма первыхчисел Фибоначчи вычисляется по формуле:

(1)
Доказательство

Имеем:

Сложив все эти равенства почленно, получим,гдеТеорема доказана.
Теорема 2. Сумма чисел Фибоначчи с нечетными номерами вычисляется по формуле: (2)

Доказательство

Имеем:
Сложив эти равенства почленно, получим требуемое. Теорема доказана. 
Теорема 3. Сумма чисел Фибоначчи с четными номерами:  (3)

Доказательство

На основании теоремы 1 имеемвычитая почленно из этого равенства равенство (2) получим а это нам и требовалось.
Вычитая, далее, почленно (3) из (2), получаем Прибавим теперь к обеим частям этого равенства поОбъединяяи получаем выражение для знакопеременной суммы чисел Фибоначчи:Теорема доказана.
Теорема 4. Сумма квадратов первыхчисел Фибоначчи вычисляется по формуле: (4)

Доказательство

Заметим, чтоСложив равенства  почленно, получаем формулу (4). Теорема доказана.
Теорема 5. Для чисел Фибоначчи справедлива следующая формула: 

Доказательство

Доказательство данной формулы будем вести индукцией поПри эта формула принимает следующий вид:что очевидно. Приданная формула также верна, потому что Основание индукции доказано. Индуктивный переход докажем в следующей форме: предполагая, что формуласправедлива прии при докажем, что она имеет место и приПусть Сложив последние два равенства почленно, получима это и требовалось. Теорема доказана.
Теорема 6. Если некоторая последовательность чисел начинается с двух единиц, а каждое из следующих получается сложением двух предыдущих, то эта последовательность является последовательностью чисел Фибоначчи.
В качестве примера применения чисел Фибоначчи рассмотрим «задачу о прыгуне».
«Прыгун может прыгать в одном направлении вдоль разделенной на клетки полосы, перемещаясь при каждом прыжке либо в соседнюю клетку, либо через клетку. Сколькими способами может он сдвинуться наклетку и, в частности, переместиться из первой клетки в(Способы прыгания считаются одинаковыми, если в ходе каждого из них прыгун побывает в одних и тех же клетках.)»
Данная задача имеет следующее решение: Обозначим искомое число через(так как переход из первой клетки в первую же осуществляется только одним способом – отсутствием прыжков) и(так как переход из первой клетки во вторую также единствен: он состоит в одном непосредственном прыжке на соседнюю клетку). Пусть целью прыгуна является достижениеклетки. Общее число способов осуществления этой цели равноНо с самого начала эти способы разбиваются на два класса: начинающиеся с прыжка во вторую клетку и начинающиеся с прыжка в третью клетку. Из второй клетки прыгун может переместиться в способами, а из третьейспособами. Следовательно, последовательность чиселудовлетворяет рекуррентному соотношениюи поэтому совпадает с последовательностью чисел Фибоначчи:
Вследствие всего вышесказанного, отметим, что в процессе исследования были изучены числа Фибоначчи и рассмотрены их некоторые простейшие свойства. Были представлены доказательства данных свойств. Рассмотрены примеры решения знаменитых задач, связанных с числами Фибоначчи. Кроме того, следует отметить, что числа Фибоначчи применяются не только в математике, но и в физике, информатике. В США даже издавался специальный журнал «Fibonacci Quarterly», посвященный изучению свойств чисел Фибоначчи [3].
В заключительной части осуществляется подведение итогов научно-практической конференции.
Вместе с тем, пока комиссия подводит итоги, каждому из участников предоставляется возможность проголосовать за наиболее понравившуюся работу. У каждого из участников имеются бланки, содержащие перечень всех докладов. Каждый из участников отмечает только одну наиболее понравившуюся работу в этом бланке. Для подведения итогов научно-практической конференции слово предоставляется председателю экспертной комиссии. Председатель комиссии объявляет результаты конференции: все участники получают сертификаты, а победители и призеры – дипломы, почетные грамоты и поощрительные призы.
После определения результатов экспертной комиссией ведущий (учитель) подводит итоги научно-практической конференции: «Сегодня было дано представление о разнообразии возвратных последовательностей и их роли в математике. Вместе с тем было показано, что возвратные последовательности незначительно продвинулись от наиболее простых из них – геометрической прогрессии и последовательностей степеней натуральных чисел (в частности, последовательности непосредственно натуральных чисел, составляющих арифметическую прогрессию) – и могут быть выражены с помощью этих простейших последовательностей [3]. На прощание хочется пожелать всем участникам научно-практической конференции новых побед и свершений и, конечно, новых открытий».

Поделиться в соц. сетях

0

Библиографический список
  1. Маркушевич, А. И. Возвратные последовательности : популярные лекции по математике. Вып. 1 / А. И. Маркушевич. – М. : Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1950. – 52 с.
  2. Юшкевич, А. П. История математики. В 3 т. Т. 3. Математика ⅩⅤⅢ столетия / А. П. Юшкевич. – М. : Наука, 1972. – 498 с.
  3. Воробьев, Н. Н. Числа Фибоначчи : популярные лекции по математике. Вып. 6 / Н. Н. Воробьев. – М. : Наука, 1978. – 144 с.


Количество просмотров публикации: Please wait

Все статьи автора «Журкина Мария Ивановна»


© Если вы обнаружили нарушение авторских или смежных прав, пожалуйста, незамедлительно сообщите нам об этом по электронной почте или через форму обратной связи.

Связь с автором (комментарии/рецензии к статье)

Оставить комментарий

Вы должны авторизоваться, чтобы оставить комментарий.

Если Вы еще не зарегистрированы на сайте, то Вам необходимо зарегистрироваться:
  • Регистрация